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第九单元《小数乘法和除法(二)》教材分析

   2007/5/9 12:42:00     作者:魏素瑾(退休教师)

第九单元《小数乘法和除法(二)》教材分析
作者:沈重予   录入时间:2006-8-23  

本单元在第七单元的基础上继续教学小数乘小数和除数是小数的除法。以笔算为重点,带出求积和商的近似数、乘法分配律和除法性质在小数乘、除法中同样适用等知识。计算小数除法往往会出现商是循环小数的情况,在例题里简要介绍什么样的小数是循环小数以及求循环小数的近似值,把有关循环小数的其余知识都安排在“你知道吗”里,不是必须掌握的基础知识。教材中安排了许多实际问题,通过这些问题的解答,让学生了解小数计算在生活、生产中的应用,更好地理解常见的数量关系,发展解决问题的策略和思路,巩固学过的面积公式。全单元内容分成两部分编排,先教学小数乘法,再教学小数除法。在两部分里都是先安排计算法则的教学,再安排其他内容的教学。在编写上有以下特点。

第一,突出转化思想和推理活动。在教学新知识的时候,转化的价值经常表现在沟通新旧知识的联系,用已有的知识经验解决新的数学问题。教材引导学生把小数乘法转化成整数乘法,把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法,在获得新知识的同时体验转化策略。计算小数乘小数,把两个因数都看成整数,如果它们分别乘10,积也发生了相应的变化。把整数乘整数的积回归到小数乘小数的积,要除以100。这个过程是严密的推理过程,应用了乘法中积的变化规律和小数点位置移动的规律。同样,把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法,是应用商不变性质的推理活动。教材组织学生开展推理,由“扶”到“放”地安排推理活动,提高学生的推理能力。

第二,细致安排计算法则的教学。为了让学生主动建构小数乘、除法的计算法则,教材从实际出发,把法则的教学分两步进行:第一步,乘法和除法各先安排一道例题,通过转化和推理得出计算法则。第二步,再分别安排一道例题,解决使用法则的难点。教材把教学的重点和难点适度分离,有利于学生循序渐进地掌握法则。

巩固法则的练习有层次。先是法则关键内容的专项练习,再是应用法则独立计算,然后是改错练习。这样安排符合学习规律,满足学习的需要,能提高练习的效率。

第三,计算方式多样化。本单元以笔算为主,同时也适当安排口算、估算和用计算器计算。口算是掌握笔算方法后进行的,直接说出比较容易的小数乘、除法的得数,能进一步巩固处理小数点的方法和技巧。估算用于解决实际问题,在不要求精确结果的情况下使用,替代了笔算。计算器用于计算较繁的小数乘、除法和探索规律。计算方式多样化体现了解决问题策略的多样性与灵活性。

1. 点拨转化方向,组织推理过程,凸现法则的关键内容。

在小数乘整数时,学生初步有了两点体会: 可以像整数乘法那样乘;因数里有几位小数,积也有几位小数。这些初步的感受是学习小数乘小数的基础。例1中“把这两个小数都看成整数”又一次指出小数乘法可以先按整数乘法计算。“相乘后怎样得到原来的积”是教学的重点,教材里安排两次探究活动:第一次在例1,思考虚线框里三个箭头以及上面的“×10”“÷100”的意思,“扶”着学生经历推理过程;第二次在“试一试”,让学生在三个箭头上面的括号里填数,并写出左边竖式的积,独立进行推理。在两次探究以后,比较各题中两个因数与积的小数位数,发现“两个因数一共有几位小数,积就有几位小数”这一规律,在理解算理的基础上得出在积里点小数点的操作方法。小数乘法的计算法则通过归纳推理的方式总结,要求学生说说计算上面两题的体会,两个小卡通的交流就是学生总结的法则。法则里最关键的内容是怎样确定积的小数点的位置,教材里设计了三种练习:首先在“练一练”里进行专项练习;然后在第89页第2题,选择学生往往出现的错误进行识别和纠正;最后是第102页第2题,把小数乘整数的计算与小数乘小数的计算融为一体,把旧知识纳入新的认知结构中。

例5教学除数是小数的除法,突出三点: 第一,在除数是小数这个新的计算情境和认知冲突中提出“除数是小数的除法怎样计算”这个问题,使学生想到已经学过的小数除以整数,找到转化的方向。学生已经掌握了商不变性质和移动小数点的知识,能够进行7.98÷4.2变成79.8÷42的推理活动。第二,教学在竖式上完成转化的操作。先划去4.2的小数点,把它变成整数;再把7.98的小数点向右移动一位,划去原来的小数点,点出移动后的小数点。转化后的除法由学生完成,要注意商的小数点必须与被除数里移动后的小数点对齐。在这一点上,学生可能有疑惑。第三,例题教学的最后一个环节是反思,让学生围绕“怎样把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法”这个问题充分讨论与交流,这是小数除法法则的关键内容。和小数乘法相似,小数除法也设计了三种练习:转化成除数是整数的专项练习,针对常见错误的改错练习,把除数是整数的除法与除数是小数的除法进行对比的练习。

综上所述,例1与例5在编写时仔细研究了学生已有的知识经验、思维水平以及学习新知识时的困难与需要。教学小数乘法和小数除法时,“转化”的点拨方法不同,推理的组织程度不同。既重视计算法则,又不机械地灌输和记忆法则。

2. 解决应用法则时的难点,提高计算的正确率。

计算小数乘法,在积里点小数点时,如果位数不够怎么办?把除数是小数的除法转化成除数是整数的乘法,如果被除数的小数位数比除数少怎么办?这些都是应用计算法则的难点问题,也是计算容易发生错误的地方。为此,教材安排例2和例6解决这些问题。

第七单元移动小数点的位置,学生已经知道: 如果位数不够,可以用“0”补足。只要把这些方法应用到例2和例6的情况中去,问题就解决了。

例2的教学线索是凸现矛盾、激活旧知,专项练习、新旧沟通。首先通过问题“要从积的右边起数出几位点上小数点”让学生发现784的位数不够,利用矛盾激活已有的经验。接着让学生完成竖式计算,在点小数点时体会“位数不够,要在前面用‘0’补足”。然后是“练一练”安排在积里点小数点的专项练习,掌握补“0”的要领。最后是第89页第4题,在积里点小数点,有时位数够,有时位数不够;有些只添整数部分的“0”,有些小数部分也添“0”。出现各种情况,使新旧知识融会贯通。

例6的教学线索是演绎法则、示范方法,变式扩展、专项练习。先指向算式1.1÷0.55提出问题:“除数要乘几?被除数呢?”使学生发现被除数是一位小数,比除数的小数位数少。然后示范了在被除数末尾先补“0”再移动小数点的方法,要求学生思考被除数末尾为什么可以补“0”,以及转化后小数点的位置,并把除法算完。“试一试”整数除以小数,是例题的变式。表面上似乎有点特殊,其实转化并不难。在去掉除数的小数点的同时,被除数3乘10是30。如果让学生说说例题和“试一试”中转化的体会,他们对一个数除以小数应该怎样计算就清楚了。练习十八第1题是转化的专项练习,包含了可能出现的各种情况,能帮助学生更好地掌握除数是小数的除法。

3. 选用不同的方法教学求积和商的近似值。

求积的近似数,一般先算出积,再根据精确度的要求用“四舍五入法”取近似数。在这些数学活动中,计算小数乘法以及用“四舍五入法”求近似数,都是学生已经掌握的知识。因此,求积的近似数不要教学新的数学内容。基于这些思考,例3在编写上有两个特点:一是3.18×1.6的笔算已经完成,只要把积保留两位小数,避免教学精力过多用于笔算乘法,淡化求积的近似数这个主题;二是让学生在横式上填写结果,把求近似数留给学生进行。根据例题的编写特点,教学时要充分利用教材,应先让学生独立学习,再组织交流。交流的内容是求近似数时的思考,使学生正确应用“四舍五入法”。

练习十六第4题先估计平行四边形的面积,再计算并把得数保留一位小数。要让学生明白估计和求近似数不是一回事。估计的时候把底和高分别看成比较接近的整数,通过口算整数乘法进行的。求近似数一般先算出精确的积,再“四舍五入”。

求商的近似数,不要把除法算完,只要除到适当的时候就可以求近似数。况且许多除法的商是循环小数,不可能最终除尽。因此,教学求商的近似数有两个新内容:一是循环小数的知识,二是求商的近似数只要除到什么时候就可以“四舍五入”。这两个内容,前一个安排例题教学,后一个让学生在求商的近似数时体会。

教材中关于循环小数的知识,只是让学生联系除法计算,体会如果继续除下去,永远不会结束。原因是除的过程中“余数重复出现”,“商也重复出现”。告诉学生这样的商是循环小数,可以用“四舍五入法”取循环小数的近似数。上面这些内容都在例7里教学。至于循环小数的定义,安排在教材的底注里。循环小数的其他知识,编写在“你知道吗”里让学生阅读,不列入基本的教学要求。

“试一试”用计算器计算两道除法,把得数保留三位小数。这里用计算器算有两个原因:  一是节省计算时间,不把精力耗费在笔算上,而是用于求商的近似数;二是计算器一般能显示10位数字,在计算器上可以看到50÷60的商是0.8333……64÷60的商是1.066……它们都有重复出现的数字,都是循环小数。教学“试一试”还要注意一点,让学生说说怎样把得数保留三位小数,体会只要看小数部分第四位上的数,就能决定“四舍”还是“五入”。小数部分第五位以及后面各位上的数与求近似数无关。这些体会用于练习十九第2题,学生就知道只要除到商里有四位小数,就能保留三位小数,不必再除下去了。

有些实际问题如果用“四舍五入法”求近似值,答案会不合理。如例8中300元钱买单价45元的足球,尽管300÷45的商接近7,最多只能买6个。又如“试一试”中126人乘船过河,每次限乘15人,虽然126÷15=8.4,但至少要9次才能全部过河。类似这些问题,在前面几册教材里陆续出现过一些,由于学生在那时年龄小,缺乏生活经验,因此只是初步接触,完全理解这些问题还有困难。本单元让学生再次学习这些问题,效果会好得多。这部分教材没有教“进一法”“去尾法”等新的求近似数的方法,也没有出现这些方法的名称。只是让学生联系现实的事情,凭生活经验和理解能力,找到比较恰当的答案。教学时一定要注意这一点,以免加重不必要的负担。

4. 让学生发现整数乘法的运算律对小数乘法同样适用。

学生已经知道整数加法的运算律对小数加法同样适用,整数乘法的运算律对小数乘法是否适用?还需要验证。例4里有三组算式,先经过计算知道同组的两个算式得数相同,它们可以用等号连接。再观察各个等式,分别得出小数乘法也有交换律、结合律和分配律。即整数乘法的运算律对小数乘法同样适用。教材安排的学习活动,不但是形成数学知识的过程,还能培养严谨的认知态度。教学例4要注意两点:一是圆圈里的等号必须在计算之后,根据左右两式的得数相同,才能填写。绝不能未经计算就写等号。如果不计算就写等号,例4的教学就不是发现运算律同样适用,变成应用运算律改写算式了,这是认知程序上的逻辑错误。二是要让学生指着三个等式逐一说说各表示什么运算律,使运算律的内涵更加清楚。“试一试”和“练一练”都是应用乘法运算律进行简便运算,因为学生已经有简便运算的经验,教材不再编排例题。

除了乘法运算律,还有两个整数的计算知识也要应用到小数计算中来。一个是除法的性质,安排在第97页第10题,通过两组算式的计算和比较,发现整数除法的性质在小数除法中也同样适用。另一个是四则混合运算顺序,安排在第97页第11题,直接应用于小数四则混合运算。

5. 研究积与因数、商和被除数的大小关系,发展数感。

在学生掌握小数乘小数的计算法则以后,教材安排他们进一步研究积与因数的大小关系。第92页第10题里有三组乘法题,每组中的三个算式的第一个因数都相同,第二个因数分别是大于1的数、1和小于1的数。通过计算与比较,发现当第二个因数大于1时,积比第一个因数大;当第二个因数是1时,积等于第一个因数;当第二个因数小于1时,积比第一个因数小。这是三组题的共同规律,这个规律对学生的数感有两点作用:一是突破了原来的乘法观念。整数乘法的积总是大于因数(另一个因数是1除外)。在小数乘法里还会出现积比因数小的情况,它是由于另一个因数小于1所造成的。虽然一个数乘小于1的数的意义不是本单元的教学任务,至少学生知道了积可以小于因数,这已经是对原来观念的突破。二是可以用于估计和反思笔算的结果是否合理。第11题在计算前先根据第二个因数的情况,说出积大于还是小于第一个因数,这是估计。尽管这样的估计与精确计算的误差相当大,但毕竟清楚了积的范围。一旦笔算的得数超出了这个范围,就能及时发现和改正错误。

教学除数是小数的除法以后,练习十八第7题发现规律: 如果除数大于1,商小于被除数;如果除数小于1,商大于被除数。这个规律对学生的数感也有积极的意义。

学生经过第103页第7题的学习,对上面的规律会有更多体会。如2.6×0.5和2.6÷2都等于1.3,都求得2.6的一半是多少;2.6÷0.5和2.6×2都等于5.2,都求得2.6的2倍是多少。这些都是学生通过题组的计算和比较,能够体会到的内容。教学时要注意,这些内容不需要教师告诉学生或把它讲得很清楚,只要求学生有所感受和联想。







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2009/11/20 19:36:00 by jingling  122.96.96.140

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